高校1年 二次不等式とは？

概要

二次不等式とは， $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ というような，二次の項を含む不等式のことです。

1. グラフ書いて二次不等式を解く

例題1

二次不等式 $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ を解け。

解答

$x^{2} - 4 x + 3 > 0$ を解きたい
$\to y = x^{2} - 4 x + 3$ が正となる $x$ を求めたい
$\to y = x^{2} - 4 x + 3$ という二次関数のグラフが $x$ 軸より上側にあるような $x$ を求めたい

というわけで， $y = x^{2} - 4 x + 3$ のグラフの概形を書く。これは下に凸な放物線。
$x$ 軸との交点の座標が必要になるので $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ を解く。
$(x - 1) (x - 3) = 0$ より $x = 1, 3$ となる。

よって，図より答えは $x < 1, 3 < x$

このように，二次不等式は，二次関数のグラフを書くことで解けます。

2．因数分解して二次不等式を解く

先ほどの二次不等式 $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ を，因数分解で解いてみましょう。

解答

左辺を因数分解すると $(x - 1) (x - 3)$ となる。
$(x - 1) (x - 3)$ の符号は，

$x < 1$
$1 < x < 3$
$3 < x$

よって， $(x - 1) (x - 3)$ がプラスになる部分が答えなので， $x < 1, 3 < x$

このように，二次不等式は，因数分解することで解けます。

グラフか因数分解か

二次不等式を解く際の考え方を2つ紹介しました。
考え方1「グラフを描いて $y$ 軸より上側（下側）にある部分を採用」
考え方2「因数分解して符号を直接調べる」

多くの教科書では考え方1を採用しています。

二次不等式の場合，どちらも結局やることとしては同じ（方程式 $f (x) = 0$ を解くことになる）です。しかし，より複雑な不等式を解く際には，考え方2も重要なので理解しておいてください！

二次不等式のもう少し難しい例題

例題2

二次不等式 $x^{2} - 6 x + 7 \leq 0$ を解け。

グラフを用いた解答

$y = x^{2} - 6 x + 7$ という二次関数のグラフが $x$ 軸より下側（ $x$ 軸上もOK）にあるような $x$ を求めたい。

というわけで， $y = x^{2} - 6 x + 7$ のグラフの概形を書く。
$x$ 軸との交点の座標が必要になるので $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ を解く。
解の公式より $x = 3 \pm \sqrt{2}$ となる。

よって，図より答えは $3 - \sqrt{2} \leq x \leq 3 + \sqrt{2}$

因数分解を用いた解答

左辺を因数分解したいが簡単にできなさそう。そこで因数定理を使う。
左辺を因数分解するために $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ を解く。
解の公式より $α = 3 - \sqrt{2}, β = 3 + \sqrt{2}$ が求まる。

よって，左辺は $(x - α) (x - β)$ と因数分解できる。この符号を調べればよい。

$x < α$
$α < x < β$
$β < x$

よって答えは $α \leq x \leq β$ つまり $3 - \sqrt{2} \leq x \leq 3 + \sqrt{2}$

二次方程式の解が存在しない場合

二次方程式 $f (x) = 0$ に実数解が存在しない場合は（グラフの概形を描いてもよいですが）平方完成すればOKです！

例題3

二次不等式 $x^{2} + 2 x + 4 \geq 0$ を解け。

解答

左辺は $(x + 1)^{2} + 3$ となり，任意の実数 $x$ に対して不等式は成立する。

例題4

二次不等式 $2 x^{2} - 8 x + 9 \leq 0$ を解け。

解答

左辺は $2 (x - 2)^{2} + 1$ となり，任意の実数 $x$ に対して不等式は成立しない。つまり解なし。

二次不等式を動画でわかりやすく解説します。＞＞

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