高校入試で数多く出題される「放物線の問題」を取り上げます。はじめに、基礎知識を確認しましょう。
２次関数 ｙ＝ａｘ２ （ａ≠０） のグラフを放物線といいます。この放物線は、ｙ 軸を対称軸として線対称になっています。放物線が原点（０，０）と接しているところが頂点です。
ａ＞０ のとき、グラフは上に開き、頂点の ｙ 座標が最小値です。ａ＜０ のとき、グラフは下に開き、頂点の ｙ 座標が最大値です（左図）。
係数 ａ の値が大きいほど、グラフは細長くなります（右図）。
ｙ はｘの関数なので、ｘの値が変化すると、ｙの値も変化します。値が変化する範囲を変域といいます。
例： ｙ＝ｘ２ で、ｘの変域が －１≦ｘ≦２ のとき、
ｘ＝０ で、ｙ＝０ （最小値） なので、
ｙ の変域は ０≦ｙ≦４ になります。
ｙ＝ａｘ２ で、放物線上の２点を結ぶ線分の傾きを変化の割合といいます。
例： ｙ＝ｘ２ 上の２点、Ａ（－１，１）とＢ（２，４）を結ぶ線分の傾きは、
（４－１）／｛（２－（－１）｝＝３／３＝１
一般化すると、 ｙ＝ａｘ２ では、ｘ＝ｐ から ｘ＝ｑ に変化すると、
変化の割合
＝（ａｑ２－ａｐ２）／（ｑ－ｐ）
＝ａ（ｑ２－ｐ２）／（ｑ－ｐ） 平方の差＝和と差の積 から、
＝ａ（ｑ＋ｐ）（ｑ－ｐ）／（ｑ－ｐ）
＝ａ（ｐ＋ｑ）
例の場合、変化の割合＝１（－１＋２）＝１
練習
１． 左の図で、放物線 ｙ＝ａｘ２ 上の点Ａの座標が（３，５）のとき、ａの値を求めてください。
（大阪府高）
２． 右の図のように、関数 ｙ＝ａｘ２ のグラフ上に点Ａがあります。点Ａのｘ座標を４とします。
（１） 点Ａのｙ座標が３２のとき、ａの値を求めてください。
（２） ａ＝１／２ とします。（１）について、ｘの変域が －２≦ｘ≦４ のとき、ｙの変域を求めてください。
（北海道高）
３． 関数 ｙ＝ａｘ２ のグラフ上に点Ａ（－２，２）とＢ（６，ｂ）があります。
（１） ａ の値と ｂ の値を求めてください。
（２） ２点Ａ，Ｂを通る直線の傾きを求めてください。
（３） △ＯＡＢの面積を求めてください。
（島根県高）
答 え
答 え
１．
放物線上の点の座標を、放物線の式に代入できるので、
５＝ａ×３２
ａ＝５／９ ・・・（答）
２．
（１） 点Ａの座標（４，３２）を、 ｙ＝ａｘ２ に代入すると、
３２＝１６ａ
ａ＝２ ・・・（答）
（２） ｙ＝ｘ２／２ で、ｘの変域が －２≦ｘ≦４
放物線のグラフは、上に開いていて、最小値は０である。
ｘ＝－２ のとき、ｙ＝（－２）２／２＝２
ｘ＝４ のとき、ｙ＝４２／２＝８
よってｙの変域は、０≦ｙ≦８ ・・・（答）
３．
（１） Ａ（－２，２）、Ｂ（６，ｂ）の座標は、ｙ＝ａｘ２を満たすので、
２＝（－２）２ａ から、ａ＝１／２
ｂ＝６２ａ から、ｂ＝１８
（答） ａ＝１／２ ｂ＝１８
（２） Ａ（－２，２）、Ｂ（６，１８）から、直線ＡＢの傾きは、
（１８－２）／｛６－（－２）｝＝１６／８＝２ ・・・（答）
（３） Ａからｘ軸に垂線を引き、交点をＡ’（－２，０）とする。
Ｂからｘ軸に垂線を引き、交点をＢ’（６，０）とする。
ＡＢとｙ軸の交点をＣ とすると、等積変形（▽＝△）ができ、
△ＯＡＢ＝△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ
＝△ＯＡ’Ｃ＋△ＯＢ’Ｃ＝△Ａ’Ｃ Ｂ’
ここで、Ｃ の座標（０，ｃ）を求める。
直線の式は、ｙ＝２ｘ＋ｃ で、Ａ（－２，２）を通るので、
２＝－４＋ｃ ｃ＝６
よって、
△Ａ’Ｃ Ｂ’＝底辺×高さ／２
＝８×６／２＝２４ ・・・（答）
